Ένα μαθηματικό ειδύλλιο

ARB - THE NEW YORK REVIEW OF BOOKS Edward Frenkel, Love and Math: The Heart of Hidden Reality, [Έντουαρντ Φρένκελ, Έρωτας και μαθηματικά: Η καρδιά της κρυμμένης πραγματικότητας], Basic Books, σελ. 292 Για όσους έχουν μια ιδέα από ανώτερα μαθηματικά, το να χρησιμοποιεί κάποιος τη λέξη «όμορφο» μέσα σε μια πρόταση που αναφέρεται σε αυτά ακούγεται απολύτως φυσικό. Η μαθηματική ομορφιά, όπως ας πούμε η ομορφιά των τελευταίων κουαρτέτων του Μπετόβεν, γεννιέται από τον συνδυασμό της αίσθησης του παράδοξου με την αίσθηση του αναπόφευκτου. Μέσα από αφηρημένες έννοιες, τις οποίες, περιγράφουν απλοί ορισμοί, αναδύονται κρυμμένες ιδιομορφίες και πολυπλοκότητες. Δομές που δείχνουν εντελώς ανεξάρτητες η μία από την άλλη, αποδεικνύεται εντέλει ότι μυστηριωδώς συσχετίζονται μεταξύ τους. Αλλόκοτοι σχηματισμοί ξεπροβάλλουν μπροστά μας, και παραμένουν αλλόκοτοι ακόμα και αφού η αυστηρή λογική μάς διαβεβαιώσει ότι είναι αληθινοί. Τόση δύναμη έχουν αυτές οι αισθητικές εντυπώσεις ώστε ένας μεγάλος μαθηματικός, ο Γκ. Χ. Χάρντι (G. H. Hardy) διακήρυξε ότι η ομορφιά, κι όχι η χρηστικότητα, είναι ο πραγματικός λόγος ύπαρξης των μαθηματικών. Για τον Χάρντι, τα μαθηματικά ήταν πρωτίστως, και κυρίως, μια δημιουργική τέχνη. «Τα μοτίβα του μαθηματικού, όπως εκείνα του ζωγράφου ή του ποιητή, πρέπει να είναι όμορφα», έγραψε το 1940 στο κλασικό βιβλίο του, Η απολογία ενός μαθηματικού. «Η ομορφιά είναι η πρώτη δοκιμασία: δεν υπάρχει μόνιμη θέση στον κόσμο για τα άσχημα μαθηματικά». Και ποια είναι η κατάλληλη αντίδραση όταν κάποιος συναντά μπροστά του τη μαθηματική ομορφιά; Η ευχαρίστηση, σίγουρα· το δέος, ίσως. Ο Τόμας Τζέφερσον έγραψε στα εβδομήντα έξι του χρόνια ότι το να ατενίζει τις αλήθειες των μαθηματικών τον βοήθησε να «ξεγελάσει την κούραση της ζωής που βαίνει προς τη δύση της». Για τον Μπέρτραντ Ράσελ –ο οποίος στην αυτοβιογραφία του υποστήριξε, κάπως μελοδραματικά, ότι η επιθυμία του να μάθει περισσότερα μαθηματικά ήταν αυτό που τον προφύλαξε από το να αυτοκτονήσει– η ομορφιά των μαθηματικών ήταν «ψυχρή και απέριττη, σαν εκείνη της γλυπτικής... ανυπέρβλητα αγνή και ικανή να φτάσει σε μια αυστηρή τελειότητα». Σε άλλους η μαθηματική ομορφιά μπορεί να ξυπνά μια πολύ πιο θερμή αίσθηση. Αυτοί ίσως εμπνέονται από το Συμπόσιο του Πλάτωνα. Στον διάλογο αυτό, ο Σωκράτης μιλά στους συγκεντρωμένους σε ένα συμπόσιο για το πώς μια ιέρεια, η Διοτίμα, τον μύησε στα μυστήρια του Έρωτα – το ελληνικό όνομα για τον πόθο σε όλες του τις μορφές. Μία μορφή Έρωτα είναι η σεξουαλική επιθυμία που γεννιέται από τη φυσική ομορφιά ενός αγαπημένου προσώπου. Αυτό, σύμφωνα με τη Διοτίμα, είναι η κατώτερη μορφή. Με λίγη φιλοσοφική εκλέπτυνση όμως, ο Έρωτας μπορεί να ανέβει σε υψηλότερα επίπεδα, προς όλο και ευγενέστερα αντικείμενα. Το προτελευταίο από αυτά –ακριβώς πριν την πλατωνική ιδέα της ομορφιάς αυτή καθαυτή– είναι η τέλεια και διαχρονική ομορφιά που ανακαλύφθηκε από τις μαθηματικές επιστήμες. Μια τέτοια ομορφιά ξυπνά σε εκείνους που βρίσκονται σε θέση να την συλλάβουν, την επιθυμία να αναπαραχθούν – όχι βιολογικά, αλλά πνευματικά, δημιουργώντας κι άλλες «μεγαλειωδώς όμορφες ιδέες και θεωρίες». Για τη Διοτίμα, και ενδεχομένως για τον Πλάτωνα επίσης, η αρμόζουσα αντίδραση στη μαθηματική ομορφιά είναι η μορφή του Έρωτα που αποκαλούμε αγάπη.[1] Ο Έντουαρντ Φρένκελ, ένας ρώσος μαθηματικός, του οποίου η ιδιοφυΐα φάνηκε από τα εφηβικά χρόνια με αποτέλεσμα σε ηλικία είκοσι ενός ετών να είναι καθηγητής στο Χάρβαρντ, διδάσκει σήμερα στο Μπέρκλεϊ και είναι ένας αμετανόητος πλατωνιστής. Ο Έρωτας διαποτίζει το πολύ ευχάριστο καινούργιο αυτοβιογραφικό βιβλίο του με τίτλο Έρωτας και μαθηματικά. Ως νεαρό αγόρι, είχε νιώσει να εντυπωσιάζεται από την ομορφιά των μαθηματικών, κάτι σαν coup de foudre (κεραυνοβόλο έρωτα). Όταν, στην εφηβεία του ακόμα, έκανε μια νέα μαθηματική ανακάλυψη, ήταν «σαν το πρώτο φιλί». Ακόμα και όταν η καριέρα του έδειχνε να υφίσταται τις οδυνηρές συνέπειες του σοβιετικού αντισημιτισμού, αυτό που τον στήριζε ήταν το «πάθος και η χαρά της ενασχόλησής μου με τα μαθηματικά». Και θέλει όλοι να μοιραστούν μαζί του αυτό το πάθος και αυτή τη χαρά. Εκεί κρύβεται μια πρόκληση. Τα μαθηματικά είναι αφηρημένα και δύσκολα· οι περισσότεροι από εμάς ίσως νομίζουμε ότι δεν μπορούμε να αγγίξουμε την ομορφιά τους. Όπως παρατήρησε ο Γερμανός ποιητής Χανς Μάγκνους Εντσενσμπέργκερ (Hans Magnus Enzensberger), τα μαθηματικά είναι «ένα τυφλό σημείο στον πολιτιστικό μας ορίζοντα – ένας άγνωστος τόπος, στον οποίο μόνο η ελίτ, οι λίγοι μυημένοι, έχουν καταφέρει να προσχωρήσουν». Οι άνθρωποι που έχουν εντρυφήσει σε άλλους τομείς, θα ομολογήσουν με υπερηφάνεια τον φιλισταϊσμό τους σε ό,τι αφορά τα μαθηματικά. Το πρόβλημα, λέει ο Φρένκελ, είναι ότι δεν έχουν ποτέ έρθει σε επαφή με τα μαθηματικά αριστουργήματα. Τα μαθηματικά που διδάσκονται στο σχολείο, αλλά και στο πανεπιστήμιο (στην εισαγωγή, ας πούμε, στον μαθηματικό λογισμό), είναι ως επί το πλείστον εκατοντάδων ετών σε ηλικία, και σε μεγάλο τους μέρος αφορούν συμβατικές μεθόδους επίλυσης προβλημάτων με ανιαρούς υπολογισμούς. Αυτό μοιάζει ελάχιστα με ό,τι κάνουν σήμερα οι περισσότεροι μαθηματικοί. Κατά τα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα συνέβη ένα είδος επανάστασης στα μαθηματικά: η κύρια έμφαση σταμάτησε να δίνεται σε υπολογισμούς που απλώς και μόνο υπηρετούν τις άλλες επιστήμες, και στράφηκε προς την ελεύθερη δημιουργία νέων δομών, νέων γλωσσών. Οι μαθηματικές αποδείξεις, παρά την ακρίβεια της λογικής τους, έφτασαν να μοιάζουν περισσότερο με αφηγήσεις που έχουν πλοκή και υποπλοκές, ανατροπές και επίλογο. Αυτό ακριβώς το είδος των μαθηματικών είναι που ο περισσότερος κόσμος δεν βλέπει ποτέ. Η αλήθεια είναι ότι μπορεί κάποιους να τους τρομάζει. Όμως τα μεγάλα έργα τέχνης, ακόμα κι όταν είναι δύσκολα στην κατανόησή τους, επιτρέπουν συχνά στον μη εκπαιδευμένο μια φευγαλέα ματιά στην ομορφιά τους. Δεν χρειάζεται να γνωρίζεις τη θεωρία της αντίστιξης για να συγκινηθείς από μια φούγκα του Μπαχ. Για να προσφέρει στον αναγνώστη μια τέτοια φευγαλέα ματιά στην ομορφιά των ανώτερων μαθηματικών, ο Φρένκελ προχωρεί κατευθείαν στην πιο συναρπαστική μαθηματική εξέλιξη του τελευταίου μισού αιώνα: το Πρόγραμμα Λάνγκλαντς, την ιδέα του οποίου συνέλαβε το 1960 ο Ρόμπερτ Λάνγκλαντς (Robert Langlands), καναδός μαθηματικός στο Ινστιτούτο Ανωτέρων Σπουδών του Πρίνστον (και στον οποίον είχε παραχωρηθεί το παλιό γραφείο τού Αϊνστάιν εκεί). Το Πρόγραμμα Λάνγκλαντς φιλοδοξεί να αποτελέσει μια μεγάλη ενοποιητική θεωρία των μαθηματικών, όμως είναι ελάχιστα γνωστό έξω από την μαθηματική κοινότητα. Μάλιστα, οι περισσότεροι επαγγελματίες μαθηματικοί αγνοούσαν την ύπαρξή του μέχρι τα τέλη του 1990, όταν έκανε την εμφάνισή του στην περίφημη λύση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά, η οποία είχε αποτελέσει μεγάλο γεγονός την εποχή εκείνη.[2] Από τότε οι στόχοι του έχουν επεκταθεί πέρα από τα θεωρητικά μαθηματικά, κι έχουν φτάσει στα όρια της θεωρητικής φυσικής. Απ’ όσο γνωρίζω, ο Φρένκελ είναι ο πρώτος που προσπάθησε να εξηγήσει το Πρόγραμμα Λάνγκλαντς –«ο βασικός κώδικας όλων των μαθηματικών» κατ’ αυτόν– σε αναγνώστες που δεν διέθεταν κανένα μαθηματικό υπόβαθρο. Το βιβλίο του, επομένως, είναι τρία πράγματα: μια ερωτική επιστολή που εκφράζει τον πλατωνικό του έρωτα προς τα μαθηματικά· μια προσπάθεια να δώσει στους μη ειδήμονες μια αίσθηση των θαυμαστότερων και πιο συναρπαστικών εξελίξεων που συμβαίνουν στα μαθηματικά· και μια αυτοβιογραφική αφήγηση, άλλοτε εύθυμη κι άλλοτε ικανή να εμπνεύσει τον αναγνώστη, του πώς ο ίδιος ο συγγραφέας έφτασε να γίνει μία από τις εξέχουσες φιγούρες στον τομέα αυτόν. Ο Φρένκελ μεγάλωσε στην εποχή του Μπρέζνιεφ σε μια βιομηχανική πόλη, την Κολόμνα, σχεδόν εκατό χιλιόμετρα έξω από τη Μόσχα. «Μισούσα τα μαθηματικά όταν πήγαινα σχολείο», μας λέει. «Αυτό που μου κινούσε το ενδιαφέρον ήταν η φυσική, ιδιαίτερα η κβαντική φυσική». Στα πρώτα χρόνια της εφηβείας του διάβαζε αχόρταγα εκλαϊκευμένα βιβλία φυσικής που περιείχαν αναφορές σε υποατομικά σωματίδια, όπως τα «αδρόνια» και τα «κουάρκ», οι οποίες του εξήπταν την περιέργεια. Γιατί, αναρωτιόταν, τα θεμελιώδη σωματίδια της φύσης συναντώνται σε τέτοια πολυσύνθετη ποικιλομορφία; Γιατί ανήκουν σε ορισμένες οικογένειες ως προς το μέγεθός τους; Μόνο όταν οι γονείς του (και οι δύο μηχανικοί βιομηχανίας) κανόνισαν να συναντήσει έναν παλιό τους φίλο, μαθηματικό, μόνο τότε ένιωσε ο Φρένκελ να ξεδιαλύνονται οι απορίες του. Αυτό που έφερνε τάξη και λογική στους θεμέλιους λίθους της ύλης, του εξήγησε ο μαθηματικός, ήταν κάτι που ονομαζόταν «ομάδα συμμετρίας» – ένα πλάσμα του κόσμου των μαθηματικών, που ο Φρένκελ δεν είχε ποτέ συναντήσει στο σχολείο. «Επρόκειτο για μια στιγμή αποκάλυψης», θυμάται, ένα όραμα «ενός εξ ολοκλήρου διαφορετικού κόσμου». Για έναν μαθηματικό, μια «ομάδα» είναι ένα σύνολο πράξεων και λειτουργιών που συνυπάρχουν και δρουν από κοινού με ωραίο τρόπο.[3] Ένα είδος ομάδας –αυτό που συνάντησε για πρώτη φορά ο Φρένκελ– είναι η ομάδα συμμετρίας. Υποθέστε ότι έχετε ένα τετράγωνο τραπέζι στη μέση ενός δωματίου. Όπως γίνεται αυτονόητα αντιληπτό, το έπιπλο αυτό είναι συμμετρικό ως προς ορισμένους άξονες. Πώς μπορούμε να κάνουμε πιο συγκεκριμένη την πρόταση αυτή; Λοιπόν, αν περιστρέψετε το τραπέζι γύρω από το κέντρο του για ακριβώς 90 μοίρες, η εμφάνισή του θα μείνει αναλλοίωτη· κανένας από τους ανθρώπους που ήταν έξω από το δωμάτιο όταν έγινε η περιστροφή του τραπεζιού δεν θα παρατηρήσει κάποια διαφορά επιστρέφοντας (υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν λεκέδες ή γρατζουνιές στην επιφάνειά του). Το ίδιο ισχύει αν περιστρέψετε το τραπέζι κατά 180 μοίρες, ή κατά 270 μοίρες, ή κατά 360 μοίρες – στην τελευταία περίπτωση το τραπέζι έχει κάνει έναν πλήρη κύκλο, οπότε αυτό ισοδυναμεί με το να μην έχει περιστραφεί καθόλου. Οι ενέργειες αυτές αποτελούν την ομάδα συμμετρίας του τραπεζιού. Καθώς υπάρχουν μόνο τέσσερις τέτοιες, η ομάδα είναι πεπερασμένη. Αν όμως το τραπέζι ήταν κυκλικό, η ομάδα συμμετρίας του θα ήταν άπειρη, καθώς μια οποιαδήποτε περιστροφή –κατά 1 βαθμό, κατά 45 βαθμούς, κατά 132,32578 βαθμούς ή οποιοδήποτε άλλο νούμερο– δεν θα άλλαζε στο παραμικρό την εμφάνισή του. Οι ομάδες είναι επομένως ένας τρόπος για να υπολογίσει κανείς τη συμμετρία ενός αντικειμένου: ένα κυκλικό τραπέζι, με την άπειρη ομάδα συμμετρίας του, είναι πιο συμμετρικό από ένα τετράγωνο τραπέζι, του οποίου η ομάδα συμμετρίας περιέχει μόνο τέσσερις ενέργειες. Όμως (ευτυχώς) η θεωρία αποκτά ακόμη περισσότερο ενδιαφέρον. Οι ομάδες μπορούν να συλλάβουν μέσα τους συμμετρίες που ξεπερνούν το απλώς γεωμετρικό – όπως τις συμμετρίες που κρύβονται σε μια εξίσωση ή σε μια κατηγορία υποατομικών σωματιδίων. Η πραγματική δύναμη της θεωρίας των ομάδων αποκαλύφθηκε για πρώτη φορά το 1832, σε μια επιστολή που στα είκοσι ένα του χρόνια ο παριζιάνος σπουδαστής με τις φλογερές πολιτικές απόψεις, Εβαρίστ Γκαλουά (Évariste Galois), έγραψε βιαστικά σε έναν φίλο του, αργά τη νύχτα, πριν πεθάνει σε μια μονομαχία (για την τιμή μιας γυναίκας, και πολύ πιθανώς από το χέρι κάποιου κυβερνητικού προβοκάτορα).[4] Αυτό που είδε ο Γκαλουά ήταν ένας πραγματικά όμορφος τρόπος για να επεκτείνει την έννοια της συμμετρίας στο πεδίο των αριθμών. Με τη δική του théorie des groupes (Θεωρία Ομάδων) ήταν σε θέση να λύσει –με έναν εντελώς απροσδόκητο τρόπο– ένα κλασικό πρόβλημα της άλγεβρας που είχε βασανίσει τους μαθηματικούς για αιώνες. («Ο Γκαλουά δεν έλυσε το πρόβλημα», γράφει ο Φρένκελ. «Με μια αποφασιστική κίνηση το κατάργησε».) Η σημασία της ανακάλυψης του Γκαλουά υπερβαίνει κατά πολύ το πρόβλημα που την ενέπνευσε. Η βιβλιογραφία σήμερα είναι γεμάτη από αναφορές στις «ομάδες Γκαλουά» ενώ η έννοια των ομάδων έχει ίσως το μεγαλύτερο εύρος εφαρμογών σε ολόκληρα τα μαθηματικά, συμβάλλοντας στην επίλυση πολλών μυστηρίων. «Όταν βρίσκεστε σε αμφιβολία», συμβούλευε ο μεγάλος Αντρέ Βέιλ (André Weil), «ψάξτε να βρείτε την ομάδα!». Αυτό είναι το cherchez la femme των μαθηματικών. Από τη στιγμή που ένιωσε εκείνη τη βαθιά συγκίνηση, ο νεαρός Φρένκελ άρχισε μανιωδώς να μαθαίνει όσο περισσότερα μαθηματικά μπορούσε. («Αυτό συμβαίνει όταν ερωτεύεσαι»). Όταν έφτασε σε ηλικία δεκαέξι ετών ήταν καιρός να κάνει αίτηση σε ένα πανεπιστήμιο. Η ιδανική επιλογή ήταν προφανής: το Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, όπου το τμήμα μηχανικών και μαθηματικών, το «Μεκ-Ματ» όπως το αποκαλούσαν, θεωρούνταν ένα από τα μεγαλύτερα κέντρα στον κόσμο στον τομέα των θεωρητικών μαθηματικών. Όμως βρισκόμασταν ακόμη στο 1984, ένα χρόνο πριν ο Γκορμπατσόφ ανέβει στην εξουσία, και η επιρροή του Κομμουνιστικού Κόμματος ήταν ακόμη έντονη σε όλες τις πλευρές της ζωής στη Ρωσία, συμπεριλαμβανομένης της επιλογής των εισακτέων στο πανεπιστήμιο. Ο Φρένκελ είχε πατέρα Εβραίο, και αυτό απ’ ό,τι φαίνεται ήταν αρκετό για να εκμηδενίσει τις πιθανότητές του να γίνει δεκτός στο Πανεπιστήμιο της Μόσχας. (Η ανεπίσημη εξήγηση για το ότι κρατούσαν τους Εβραίους έξω από ακαδημαϊκά πεδία που σχετίζονταν με τη φυσική, ήταν ότι μπορούσαν να αποκτήσουν μεγάλη εξειδίκευση στα πυρηνικά και μετά να μεταναστεύσουν στο Ισραήλ.) Παρ’ όλα αυτά όμως κράτησαν τα προσχήματα της δίκαιης επιλογής. Του επέτρεψαν να πάρει μέρος στις εισαγωγικές εξετάσεις – κάτι που μετατράπηκε σε μια σαδιστική και εφιαλτική πεντάωρη δοκιμασία βγαλμένη από την Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων. (Εξεταστής: «Ποιος είναι ο ορισμός του κύκλου;». Φρένκελ: «Κύκλος είναι το σύνολο των σημείων επάνω σε ένα επίπεδο, τα οποία ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο». Εξεταστής: «Λάθος! Είναι το σύνολο όλων των σημείων επάνω σε ένα επίπεδο, τα οποία ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο».) Τελικά, το μόνο που κατάφερε να εξασφαλίσει ο Φρένκελ ήταν μια θέση στο Ινστιτούτο Πετρελαίου και Αερίου της Μόσχας (Κεροζίνκα, όπως το αποκαλούσαν κυνικά[5]), το οποίο είχε γίνει το καταφύγιο των Εβραίων σπουδαστών. Όμως ήταν τέτοια η λαχτάρα του για τα θεωρητικά μαθηματικά, μας λέει, που θα σκαρφάλωνε έναν φράχτη έξι μέτρων στο ισχυρά φυλασσόμενο Μεκ-Ματ για να μπει στα σεμινάρια εκεί. Σύντομα η εξαιρετική του ικανότητα αναγνωρίστηκε από μια εξέχουσα φυσιογνωμία του μαθηματικού κόσμου της Μόσχας, και τον έβαλαν να εργαστεί σε ένα άλυτο πρόβλημα, το οποίο τον απορρόφησε εντελώς για ολόκληρες εβδομάδες, σε σημείο να του προκαλεί αϋπνία. «Και τότε, ξαφνικά, μου ήρθε στο μυαλό», θυμάται. «Για πρώτη φορά στη ζωή μου, μου ανήκε κάτι που δεν ανήκε σε κανέναν άλλον στον κόσμο». Το πρόβλημα που είχε λύσει αφορούσε ένα ακόμα είδος αφηρημένης ομάδας, που ονομάζεται «ομάδα πλεξίδων» διότι προκύπτει από συστήματα καμπυλών που διαπλέκονται μεταξύ τους έτσι ώστε μοιάζουν κυριολεκτικά με πλεξίδες μαλλιών. Παρά τη σημαντική αυτή ανακάλυψη και ορισμένες άλλες επίσης, τις οποίες όλες είχε κάνει ο Φρένκελ ενώ βρισκόταν ακόμα στο τέλος της εφηβείας του, οι ακαδημαϊκές του προοπτικές, ως κατά το ήμισυ Εβραίου, ήταν ισχνές. Όμως το ταλέντο του είχε πέσει στην αντίληψη κάποιων μαθηματικών επιστημόνων στο εξωτερικό. Το 1989, εντελώς αναπάντεχα, ο ταχυδρόμος έφερε στα χέρια του μια επιστολή από τον Ντέρεκ Μποκ (Derek Bok), πρόεδρο του Χάρβαρντ. Η επιστολή προσφωνούσε τον Φρένκελ ως «δόκτορα» (παρ’ όλο που ακόμα δεν είχε πάρει ούτε καν το πρώτο του πτυχίο) και τον προσκαλούσε να πάει στο Χάρβαρντ σε μια θέση μεταδιδακτορικού ερευνητή. «Είχα ακούσει και πριν για το Πανεπιστήμιο Χάρβαρντ», γράφει ο Φρένκελ, «αν και πρέπει να παραδεχθώ ότι την εποχή εκείνη δεν κατανοούσα τη σπουδαιότητά του στον ακαδημαϊκό κόσμο». Σε ηλικία είκοσι ενός ετών, θα γινόταν επισκέπτης καθηγητής μαθηματικών στο Χάρβαρντ, χωρίς κάποια επίσημα καθήκοντα πέραν του να δίνει περιοδικές διαλέξεις γύρω από το έργο του. Και προς μεγάλη του έκπληξη επίσης, παρέλαβε μια σοβιετική βίζα για την έξοδό του από τη χώρα σε ένα μήνα, γεγονός που τον κατέστησε έναν από τους πρώτους που πήραν μέρος στη μεγάλη έξοδο των εβραίων μαθηματικών την εποχή της περεστρόικα. Η προσαρμογή του Φρένκελ στην αμερικανική ζωή ήταν σχετικά ομαλή. Έμεινε έκθαμβος από την «πληθώρα αγαθών του καπιταλισμού» όταν βρέθηκε στους διαδρόμους ενός βοστωνέζικου σούπερ μάρκετ· αγόρασε τα «πιο μοδάτα τζην και ένα γουόκμαν Sony»· αγωνίστηκε να μάθει τις λεπτές ειρωνείες των αγγλικών παρακολουθώντας ευλαβικά το σόου του Ντέιβιντ Λέτερμαν στην τηλεόραση κάθε βράδυ. Πιο σημαντικό απ’ όλα, στο Χάρβαρντ γνώρισε έναν ακόμα εκπατρισμένο Ρώσο Εβραίο, ο οποίος τον εισήγαγε στο Πρόγραμμα Λάνγκλαντς. Όπως και η θεωρία του Γκαλουά, το Πρόγραμμα Λάνγκλαντς ξεκίνησε από μια επιστολή. Αυτή είχε γραφτεί το 1967 από τον Ρόμπερτ Λάνγκλαντς (ο οποίος τότε ήταν στην αρχή της τέταρτης δεκαετίας της ζωής του) με παραλήπτη έναν από τους συναδέλφους του στο Ινστιτούτο Ανωτέρων Σπουδών, τον Αντρέ Βέιλ. Στην επιστολή του, ο Λάνγκλαντς υποδείκνυε την πιθανότητα να υπάρχουν σημαντικές αναλογίες μεταξύ δύο θεωριών που έδειχναν να βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του μαθηματικού κόσμου: τη θεωρία των ομάδων Γκαλουά, η οποία αφορά τις συμμετρίες στον κόσμο των αριθμών· και της «αρμονικής ανάλυσης» η οποία αφορά τον τρόπο με τον οποίο σύνθετα κύματα (π.χ. ο ήχος μιας συμφωνίας) προκύπτουν από τον συνδυασμό απλών αρμονικών (π.χ. το κάθε ένα όργανο). Ορισμένες δομές στον κόσμο των αρμονιών, οι οποίες ονομάζονται αυτομορφικές, κατά κάποιον τρόπο «γνωρίζουν» για τα μυστηριώδη μοτίβα στον κόσμο των αριθμών. Επομένως, ίσως θα ήταν δυνατό να χρησιμοποιήσουν τις μεθόδους του ενός κόσμου για να αποκαλύψουν τις κρυμμένες αρμονίες του άλλου – αυτό τουλάχιστον υπέθετε ο Λάνγκλαντς. Αν ο Βέιλ δεν έβρισκε τις θεωρίες της επιστολής πειστικές, προσέθετε ο Λάνγκλαντς, «είμαι σίγουρος ότι έχεις πρόχειρο ένα καλάθι αχρήστων». Όμως ο Βέιλ, μια εμβληματική φυσιογνωμία στα μαθηματικά του εικοστού αιώνα (πέθανε το 1998 σε ηλικία ενενήντα δύο ετών) ήταν πολύ δεκτικός ακροατής. Σε μια επιστολή που είχε στείλει το 1940 στην αδελφή του, Σιμόν Βέιλ, είχε περιγράψει με πολύ γλαφυρό τρόπο τον σπουδαίο ρόλο της αναλογίας στα μαθηματικά. Χρησιμοποιώντας ως παράδειγμα το έπος Μπαγκαβάτ Γκίτα (ήταν επίσης μελετητής των σανσκριτικών), ο Αντρέ εξηγούσε στη Σιμόν ότι ακριβώς όπως η ινδουιστική θεότητα Βίσνου είχε δέκα διαφορετικά άβαταρ, μια φαινομενικά απλή μαθηματική εξίσωση θα μπορούσε να κάνει την εμφάνισή της σε ολωσδιόλου διαφορετικές μεταξύ τους αφηρημένες δομές. Οι ανεπαίσθητες αναλογίες ανάμεσα σε τέτοιες δομές ήταν σαν «παράνομες σχέσεις», έγραφε· «τίποτα δεν δίνει μεγαλύτερη ευχαρίστηση στον ειδήμονα». Αξίζει εδώ να αναφερθεί ότι ο Βέιλ έγραφε στην αδελφή του από τη φυλακή στη Γαλλία, όπου είχε προσωρινά εγκλειστεί για λιποταξία από τον στρατό (αφού πρώτα παραλίγο να εκτελεστεί ως κατάσκοπος στη Φινλανδία). Το Πρόγραμμα Λάνγκλαντς είναι ένα σύνολο εικασιών που θα μετέτρεπαν τέτοιες υποθετικές αναλογίες σε λογικά θεμελιωμένες γέφυρες οι οποίες θα συνέδεαν μεταξύ τους τα μαθηματικά νησιά που επιπλέουν απομονωμένα μέσα στη θάλασσα άγνοιας που τα περιβάλλει. Ή μπορεί να το δει κανείς σαν μια στήλη της Ροζέτας που θα επέτρεπε στις μαθηματικές φυλές επάνω σε αυτά τα διαφορετικά νησιά –τους ειδικούς στη θεωρία των αριθμών, την τοπολογία, την αλγεβρική γεωμετρία– να μιλούν ο ένας στον άλλον και να χρησιμοποιούν συνδυαστικά τους διανοητικούς τους πόρους. Οι εικασίες του Λάνγκλαντς είναι ως επί το πλείστον μη αποδεδειγμένες έως τώρα.[6] Άραγε έστω αληθεύουν; Οι μαθηματικοί διαθέτουν μια σχεδόν πλατωνική σιγουριά για αυτό. Όπως έχει παρατηρήσει ο Ίαν Στιούαρτ (Ian Stewart), το Πρόγραμμα Λάνγκλαντς είναι «το είδος των μαθηματικών που θα όφειλε να αληθεύει διότι είναι πολύ όμορφο». Η ενότητα που θα μπορούσε να φέρει στα ανώτερα μαθηματικά θα μπορούσε να αποτελέσει το ξεκίνημα μιας νέας χρυσής εποχής, στην οποία ίσως εντέλει να ανακαλύψουμε, όπως το διατυπώνει ο Φρένκελ, «τι αφορούν στην πραγματικότητα τα μαθηματικά». Καθώς ο Φρένκελ δεν είχε κάποιο μεταπτυχιακό τίτλο, έπρεπε να υποστεί έναν προσωρινό «υποβιβασμό θέσης», από αυτήν του καθηγητή στο Χάρβαρντ σε αυτήν του μεταπτυχιακού φοιτητή, ενώ έγραφε τη διδακτορική του διατριβή την οποία και ολοκλήρωσε μέσα σε έναν χρόνο. (Στην αποφοίτησή του το 1991, είχε τη χαρά να δεχθεί προσωπικά συγχαρητήρια από τον επίτιμο ομιλητή της τελετής αποφοίτησης, τον Έντβαρντ Σεβαρντνάντζε, έναν από τους αρχιτέκτονες της περεστρόικα.) Στη διδακτορική του θέση ο Φρένκελ αποδείκνυε ένα θεώρημα που βοήθησε να ανοιχτεί ένα νέο κεφάλαιο στο Πρόγραμμα Λάνγκλαντς, το οποίο επέκτεινε το πρόγραμμα πέρα από τον κόσμο των αριθμών στον κόσμο της γεωμετρίας και των καμπύλων επιφανειών, όπως η επιφάνεια μιας μπάλας ή ενός ντόνατ.[7] Αυτό σήμαινε ότι θα μεταβάλλονταν ή ίσως ακόμα και να καταρρίπτονταν πολλές από τις έως τώρα γνώριμες μαθηματικές έννοιες – έννοιες τόσο βασικές όσο οι φυσικοί αριθμοί. Αναλογιστείτε τον αριθμό 3. Είναι βαρετός· δεν έχει καμία εσωτερική δομή. Υποθέστε όμως ότι αντικαθιστάτε τον αριθμό 3 με έναν «διανυσματικό χώρο» τριών διαστάσεων – δηλαδή έναν χώρο στον οποίο κάθε σημείο αντιπροσωπεύεται από μία τριάδα αριθμών, και ο οποίος έχει τους δικούς του κανόνες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Εδώ υπάρχει κάτι ενδιαφέρον: μια δομή με πιο πολλές συμμετρίες κι από έναν αρχαιοελληνικό ναό. «Στα σύγχρονα μαθηματικά, δημιουργούμε έναν νέο κόσμο όπου οι αριθμοί ζωντανεύουν ως διανυσματικοί χώροι», γράφει ο Φρένκελ. Και άλλες βασικές έννοιες εμπλουτίζονται επίσης. «Συναρτήσεις» τις οποίες θα συναντούσατε στα μαθηματικά του γυμνασίου (όπως η y=f(x)) μετασχηματίζονται σε εξωτικά πλάσματα που ονομάζονται «δράγματα» (ή «δεσμίδες»).[8] Η επόμενη κίνηση ήταν να διευρύνει τα όρια του Προγράμματος Λάνγκλαντς πέρα από την μαθηματική επιστήμη αυτή καθαυτή. Τη δεκαετία του ’70 παρατήρησαν ότι ένα από τα θεμελιώδη συστατικά του προγράμματος –η «δυϊκή ομάδα Λάνγκλαντς»– κάνει την εμφάνισή της και στην κβαντική φυσική. Αυτό ήταν αναπάντεχο. Θα μπορούσαν άραγε τα ίδια μοτίβα που μπορούμε να διακρίνουμε αμυδρά στον κόσμο των αριθμών και στον κόσμο της γεωμετρίας να έχουν το αντίστοιχό τους στη θεωρία που περιγράφει τις θεμελιώδεις δυνάμεις της φύσης; Το ενδιαφέρον του Φρένκελ κίνησε μια ενδεχόμενη σύνδεση ανάμεσα στην κβαντική φυσική και το Πρόγραμμα Λάνγκλαντς, κι έτσι ξεκίνησε να ερευνά προς αυτή την κατεύθυνση – βοηθούμενος από μια χρηματοδότηση πολλών εκατομμυρίων δολαρίων που αυτός και κάποιοι συνάδελφοί του εξασφάλισαν το 2004 από το Υπουργείο Άμυνας, η μεγαλύτερη χρηματοδότηση έως σήμερα για έρευνα στα θεωρητικά μαθηματικά. (Πέρα από το ότι είναι καθαρά και ευγενή, τα θεωρητικά μαθηματικά είναι φτηνά: το μόνο που χρειάζονται όσοι ασχολούνται με τη μελέτη τους είναι κιμωλία και κάποια έξοδα μετακίνησης. Είναι επίσης ανοιχτά σε όλους και διαφανή, καθώς δεν υπάρχουν εφευρέσεις για να κατοχυρώσει κανείς.) Αυτό ήταν και η αφορμή για να ξεκινήσει η συνεργασία του με τον Έντουαρντ Γουίτεν (Edward Witten), θεωρούμενον ευρέως ως τον μεγαλύτερο εν ζωή μαθηματικό φυσικό (και σαν τον Λάνγκλαντς, μέλος του Ινστιτούτου Ανωτέρων Σπουδών στο Πρίνστον) και ο οποίος είναι ειδικός στη θεωρία των χορδών. Η θεωρία των χορδών είναι μια προσπάθεια των φυσικών, η οποία βρίσκεται σε εξέλιξη, που στοχεύει στη συνένωση όλων των δυνάμεων της φύσης, συμπεριλαμβανομένης της βαρύτητας, σε ένα τακτοποιημένο μαθηματικό πακέτο. Η «ακλόνητη λογική» και το «εξαιρετικό γούστο» του Γουίτεν προκαλούσαν στον Φρένκελ δέος. Ο Γουίτεν ήταν εκείνος που είδε ότι οι «βράνες» (συντομογραφία από το «μεμβράνες»), μια θεωρητική σύλληψη των φυσικών, ίσως είναι ανάλογες με τα «δράγματα» [«δεσμίδες»], την ιδέα των οποίων συνέλαβαν οι μαθηματικοί. Έτσι, άνοιξε ένας πλούσιος διάλογος ανάμεσα στο Πρόγραμμα Λάνγκλαντς, το οποίο στοχεύει σε μια ενοποιημένη μαθηματική θεωρία, και τη θεωρία των χορδών, η οποία στοχεύει σε μια ενοποιημένη θεωρία φυσικής. Παρ’ όλο που η αισιοδοξία για τη θεωρία των χορδών έχει κάπως ξεθυμάνει μετά την αποτυχία της (έως τώρα) να προσφέρει μια ικανοποιητική περιγραφή του σύμπαντός μας, η σύνδεση Λάνγκλαντς έχει οδηγήσει στο να αποκτήσουμε σημαντικές γνώσεις ως προς τα φαινόμενα της φυσικής σωματιδίων. Δεν είναι η πρώτη φορά που μελετώντας μαθηματικές έννοιες, για την ομορφιά τους και μόνο, καταλήγουμε να διαλευκάνουμε φαινόμενα του φυσικού κόσμου. «Πώς είναι δυνατόν», ρωτούσε ο Αϊνστάιν με θαυμασμό, «τα μαθηματικά, τα οποία σε τελική ανάλυση είναι προϊόν της ανθρώπινης σκέψης ανεξάρτητο από την εμπειρία, να είναι τόσο εξαιρετικά κατάλληλα για τη μελέτη των αντικειμένων της πραγματικότητας;». Η προσέγγιση του Φρένκελ σε αυτό διαφέρει πολύ από εκείνη του Αϊνστάιν. Για τον Φρένκελ, οι μαθηματικές δομές είναι ανάμεσα στα «αντικείμενα της πραγματικότητας»· και είναι ολωσδιόλου αληθινές όσο οτιδήποτε άλλο στον φυσικό ή πνευματικό κόσμο. Επιπλέον, δεν είναι προϊόν της ανθρώπινης σκέψης· συγκεκριμένα, υπάρχουν ανεξάρτητα από τον χρόνο, σε έναν δικό τους πλατωνικό κόσμο, περιμένοντας να ανακαλυφθούν από τους μαθηματικούς. Η πεποίθηση ότι τα μαθηματικά έχουν μια δική τους πραγματικότητα που υπερβαίνει τον ανθρώπινο νου δεν είναι καθόλου σπάνια στους μαθηματικούς, ιδιαίτερα τους πολύ σπουδαίους όπως ο Φρένκελ και ο Λάνγκλαντς, ο σερ Ρότζερ Πένροουζ (Roger Penrose) και ο Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel). Εκείνο που καλλιεργεί την πεποίθηση αυτή είναι το γεγονός ότι παράξενοι σχηματισμοί και σχέσεις ξεπροβάλλουν απρόσμενα, παραπέμποντας σε κάτι κρυφό και μυστηριώδες. Ποιος τους έβαλε εκεί αυτούς τους σχηματισμούς; Σίγουρα δεν μοιάζουν να έχουν φτιαχτεί από εμάς. Το πρόβλημα με αυτήν την πλατωνική θεώρηση των μαθηματικών –την οποία ο Φρένκελ, διακατεχόμενος από μια μυστήρια διάθεση, ποτέ δεν αναγνώρισε ως τέτοια– είναι ότι αν τη δεχτούμε τότε η μαθηματική γνώση είναι ένα θαύμα. Αν τα αντικείμενα των μαθηματικών υπάρχουν έξω από εμάς και ζουν σε έναν πλατωνικό ουράνιο κόσμο που υπερβαίνει τον φυσικό κόσμο του χώρου και του χρόνου, τότε πώς το ανθρώπινο μυαλό «έρχεται σε επαφή» με αυτά και μαθαίνει για τις ιδιότητές τους και τις σχέσεις τους; Μήπως οι μαθηματικοί έχουν εξωαισθητηριακή αντίληψη; Το πρόβλημα με τον πλατωνισμό, όπως έχει παρατηρήσει ο φιλόσοφος Χίλαρι Πάτναμ (Hilary Putnam), «είναι ότι δείχνει πέρα για πέρα ασύμβατος με το απλό γεγονός ότι σκεφτόμαστε με τον εγκέφαλό μας, και όχι με την άυλη ψυχή μας». Ίσως ο Φρένκελ θα πρέπει να αφεθεί στην πλατωνική φαντασίωσή του. Στο κάτω κάτω, κάθε ερωτευμένος τρέφει ρομαντικές αυταπάτες για το αντικείμενο του έρωτά του. Το 2009, ενώ ο Φρένκελ βρισκόταν στο Παρίσι, όπου κατείχε την Chaire d’Excellence [Έδρα Αριστείας] του Ιδρύματος Μαθηματικών Επιστημών, αποφάσισε να γυρίσει μια ταινία μικρού μήκους που να εκφράζει το πάθος του για τα μαθηματικά. Εμπνευσμένος από την Τελετουργία του έρωτα και του θανάτου, του Γιούκιο Μισίμα (Yukio Mishima), της έδωσε τον τίτλο Τελετουργίες του έρωτα και των μαθηματικών. Σε αυτή τη βουβή αλληγορία που παραπέμπει στο ιαπωνικό θέατρο Νο, ο Φρένκελ υποδύεται έναν μαθηματικό που δημιουργεί έναν μαθηματικό τύπο για τον έρωτα. Για να κρατήσει τον μαθηματικό τύπο κρυφό και να τον προφυλάξει από τα χέρια μοχθηρών ανθρώπων, τον αποτυπώνει με τατουάζ στο σώμα της γυναίκας που αγαπά, χρησιμοποιώντας ένα ξυλάκι από μπαμπού, και έπειτα ετοιμάζεται να θυσιαστεί για την προστασία του. Όταν οι Ιεροτελεστίες του έρωτα και των μαθηματικών έκαναν την πρεμιέρα τους στο Παρίσι το 2010, η εφημερίδα Le Monde μίλησε για «μια συγκλονιστική ταινία μικρού μήκους» που «προσφέρει μια ασυνήθιστη ρομαντική άποψη των μαθηματικών επιστημόνων». Ο «μαθηματικός τύπος του έρωτα» που χρησιμοποιήθηκε στην ταινία ήταν ένας τύπος που ο ίδιος ο Φρένκελ είχε ανακαλύψει (στην πορεία των ερευνών του για τις μαθηματικές βάσεις της κβαντικής θεωρίας πεδίου). Ένας τύπος όμορφος, κι όμως απειλητικός. Οι μόνοι αριθμοί σε αυτόν είναι το μηδέν, το ένα και το άπειρο. Δεν είναι άραγε κι ο έρωτας κάπως έτσι; © THE NEW YORK REVIEW OF BOOKS 2014 — Μετάφραση: Αναστασία Μωράκη [1] Σε μια από αυτές τις άσκοπες αλλά διασκεδαστικές συμπτώσεις, κάπου προς το τέλος της Απολογίας ενός μαθηματικού, ο Γκ. Χ. Χάρντι αναφέρει ότι ο καθηγητής του Κέιμπριτζ που του άνοιξε πρώτος τα μάτια ως προς την ομορφιά των μαθηματικών ήταν ο Καθηγητής Λαβ (Professor Love). [Σημ. ARB: Αναφέρεται στον βρετανό γεωφυσικό και μαθηματικό A.E.H. Love (1863-1940). Tα επιφανειακά σεισμικά κύματα Love φέρουν το όνομά του]. [2] Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι μια φαινομενικά απλή στη διατύπωσή της εικασία για τους αριθμούς, την οποία ο Πιερ ντε Φερμά, ένας νομικός στο ανώτατο δικαστήριο της Τουλούζης τον δέκατο έβδομο αιώνα, είχε σημειώσει στο περιθώριο μιας πραγματείας που διάβαζε· συγκεκριμένα ότι η εξίσωση an + bn = cn δεν έχει ακέραιες λύσεις όταν ο εκθέτης n είναι μεγαλύτερος του 2. Παρ’ όλο που η επαλήθευσή του δεν ανέτρεψε τίποτα από τα προηγουμένως ισχύοντα, οι επί τριακόσια πενήντα χρόνια προσπάθειες να αποδειχθεί έδωσαν το έναυσμα για να αναπτυχθούν νέα πεδία μαθηματικών, όπως η αλγεβρική θεωρία αριθμών. [3] Αυτό που σημαίνει η φράση «με ωραίο τρόπο» φαίνεται ξεκάθαρα στα τέσσερα αξιώματα της Θεωρίας Ομάδων, τα οποία ορίζουν την αλγεβρική δομή μιας ομάδας. Ένα από τα αξιώματα, για παράδειγμα, λέει ότι για κάθε ενέργεια που περιλαμβάνεται στην ομάδα υπάρχει μια άλλη ενέργεια της ομάδας που την αναιρεί. [4] Έτσι τουλάχιστον λέει ο μύθος, όπως τον ανέφερε ο Ε.Τ. Μπελ στο βιβλίο του Οι μαθηματικοί [E.T. Bell, Men of Mathematics, Touchstone, 1986] και τον επανέλαβε ο Φρένκελ. Οι ιστορικοί των μαθηματικών έχουν εκφράσει αμφιβολίες για το κατά πόσο τη χρονική στιγμή της επιστολής του Γκαλουά συνέβησαν πράγματι τόσο συνταρακτικά γεγονότα. [5] Σ.τ.Μ.: Δηλαδή «σόμπα κηροζίνης», μια απλή αλλά αποτελεσματική λύση ενάντια στις αντιξοότητες. [6] Μια εξαίρεση είναι η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα (Taniyama-Shimura), την οποία διατύπωσαν στη δεκαετία του ’50 δύο Ιάπωνες μαθηματικοί. Στη δεκαετία του ’90 την απέδειξε ο Άγγλος Άντριου Γουάιλς (Andrew Wiles), αποδεικνύοντας με τον τρόπο αυτό και το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά. [7] Αυτές ονομάζονται «επιφάνειες Ρίμαν», παίρνοντας το όνομά τους από τον μαθηματικό του δέκατου ένατου αιώνα Μπέρνχαρντ Ρίμαν (Bernhard Riemann). [8] Ο άνθρωπος που ευθύνεται περισσότερο για αυτή την επανεφεύρεση της γλώσσας των μαθηματικών είναι ο Αλεξάντρ Γκροταντίκ (Alexandre Grothendieck), ο οποίος θεωρείται εν γένει ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός του δεύτερου μισού του εικοστού αιώνα. Ο Γκροταντίκ, ριζοσπαστικός στις πολιτικές του θέσεις, άνθησε στο Παρίσι κατά τη δεκαετία του ’60 και σήμερα ζει απομονωμένος από τον κόσμο στα Πυρηναία.

Ένα μαθηματικό ειδύλλιο

Σύνδεση